Jeu : saurez-vous résoudre le paradoxe des anniversaires ?

Ici, il ne sera pas question de management mais de calcul et de probabilités. Les Français étant soit-disant nuls en mathématiques c'est, d'une part, l'occasion d'une remise à niveau et, d'autre part, l'opportunité de replacer une anecdote facilement. Enfin, comme le résultat est contre-intuitif, c'est un rappel que la première impression n'est pas toujours la bonne.

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Le paradoxe des anniversaires pose donc "l'estimation probabiliste du nombre de personnes que l'on doit réunir pour avoir au moins une chance sur deux que deux personnes de ce groupe aient leur anniversaire le même jour", selon Wikipédia. Assez spontanément, quand on pose cette question, les gens estiment, quelle que soit la taille de l'échantillon, que cette probabilité est très inférieure à 50 %. Il suffit de voir la surprise de gens découvrant être nés le même jour. Pourtant, cela n'a rien d'extraordinaire...

Cahier de vacances 

Alors, combien de personnes faut-il réunir dans une pièce pour avoir au moins 50 % de chances qu'au moins deux personnes partagent la même date d'anniversaire :

• 183 ?
• 253 ?
• 23 ?

Vous l'aurez probablement compris, la réponse est 23, oui seulement 23 personnes. Pour obtenir cette probabilité, il faut inverser la logique et calculer quelles sont les chances qu'aucune paire de personnes soit née le même jour. Pour éviter les paires d'anniversaires, il faut donc que chaque personne du groupe ait une date d'anniversaire différente des autres. Ainsi, la première personne prend une date parmi les 365 jours de l'année. La seconde, une date parmi les 364 jours restants, la troisième parmi les 363 jours et ainsi de suite.

Imaginons, un groupe de trois personnes. Le calcul est le suivant :

p (3) = 365/365 x 364/365 x 363/365 = 0,9917. Soit 99 % de chances qu'aucune des trois personnes n'ait la même date d'anniversaire

Pour un groupe de 23 personnes, on pose :

p (23) = 365/365 x 364/365 x 363/365... = 0,4927. Ce qui signifie qu'il y a 49,27 % de chance qu'aucune des 23 personnes n'ait la même date d'anniversaire ou, de façon complémentaire, la probabilité qu'au moins deux personnes du groupe de 23 partagent la même date d'anniversaire s'élève à 50,7 %.

Avec 57 personnes, la probabilité de trouver une paire d'anniversaires est de 99 % et quand 70 personnes sont réunies, ce chiffre s'élève à 99,9 %. Dans un dîner, quand 6 à 8 amis sont réunis, il y a une chance sur 10 d'avoir deux convives nés le même jour.

Et alors ? Et bien vous savez désormais que la possibilité que deux personnes dans un même groupe aient la même journée d'anniversaire est bien plus élevée qu'imaginé et qu'il faut parfois apprendre, selon la formule de Gaston Bachelard, à "désorganiser le complexe impur des intuitions premières".

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